eq1=((((E^(-x (1+(Subscript[f, 12]))-y (1+(Subscript[f, 21])))) ((-y+(E^(x (Subscript[f, 12])+y (Subscript[f, 21]))) (x+y)) (Subscript[f, 12])+y (Subscript[f, 21])))/((x+y) (x (Subscript[f, 12])+y (Subscript[f, 21]))))==(((E^(-x-y)) (-1+(E^x)))/((-1+(E^(x+y))) x)))

eq1 /. (Subscript[f, 21]) -> 0

Simplify[x*(x+y)*#]& /@ (eq1 /. (Subscript[f, 21]) -> 0)

Simplify[%]

x E^(x+y)(Simplify[eq1 /. {(Subscript[f, 12]) -> (Subscript[g, 12])/x, (Subscript[f, 21]) -> (Subscript[g, 21]) /y}] /. expr_==0 :> expr)

t1=-((-1+(E^x))/(-1+(E^(x+y))))+(((E^(-(Subscript[g, 12])-(Subscript[g, 21]))) ((-y+(E^((Subscript[g, 12])+(Subscript[g, 21]))) (x+y)) (Subscript[g, 12])+x (Subscript[g, 21])))/((x+y) ((Subscript[g, 12])+(Subscript[g, 21]))))

t1 /. (Subscript[g, 12]) -> 0

t1 /. (Subscript[g, 21]) -> 0

Simplify[(((E^(-(Subscript[g, 12])-(Subscript[g, 21]))) ((-y+(E^((Subscript[g, 12])+(Subscript[g, 21]))) (x+y)) (Subscript[g, 12])+x (Subscript[g, 21])))/((x+y) ((Subscript[g, 12])+(Subscript[g, 21])))) /. {(Subscript[g, 12]) -> (a+b)/2, (Subscript[g, 21]) -> (a-b)/2}]

Solve[(((E^(-a)) (b (-1+(E^a)) (x+y)+a ((1+(E^a)) x+(-1+(E^a)) y)))/(2 a (x+y)))==c, b]

Solve[(((E^(-a)) (b (-1+(E^a)) (x+y)+a ((1+(E^a)) x+(-1+(E^a)) y)))/(2 a (x+y)))==c, a]

Solve[E^x==a x, x]

Series[ProductLog[x], {x,0,10}]

Rest[CoefficientList[Series[ProductLog[x], {x,0,10}],x]]*Range[0,9]!

9^7

(Subscript[f, 21]) = (1/4)+(((5 x)/96)+(y/32)) h+(((-99 (x^3)-187 (x^2) y-169 x (y^2)-57 (y^3)) (h^3))/138240)+(1/69672960)(780 (x^5)+2669 (x^4) y+5078 (x^3) (y^2)+5000 (x^2) (y^3)+2558 x (y^4)+555 (y^5)) (h^5)+(1/200658124800)(-34275 (x^7)-186139 (x^6) y-565943 (x^5) (y^2)-949967 (x^4) (y^3)-964985 (x^3) (y^4)-592097 (x^2) (y^5)-205357 x (y^6)-31989 (y^7)) (h^7)+(1/1589212348416000)(4104741 (x^9)+33851563 (x^8) y+146191048 (x^7) (y^2)+352835712 (x^6) (y^3)+542218746 (x^5) (y^4)+552802446 (x^4) (y^5)+376113312 (x^3) (y^6)+165124408 (x^2) (y^7)+42750073 x (y^8)+5104911 (y^9)) (h^9)+((O[h])^11)

(Subscript[f, 21]) /. {x->1, y->1}

Log[(13/54432)] / 5 // N

Log[(431/24494400)] / 7 // N

Log[(27113/19399564800)]/9 // N